POLINOMIOS Y OPERACIONES POLINOMICAS

En las relaciones matemáticas siempre vamos a tratar de solucionar problemas estos problemas relacionan cantidades unas cantidades conocidas y otras desconocidas. Las cantidades conocidas son números o valore constantes que afectan de alguna manera a las cantidades desconocidas y las cantidades desconocidas se les llama variables, incógnitas o cantidades indeterminadas y estas se representan por letras.

Expresión Algebraica: Es aquella combinación de letras y números ligada a otras expresiones por signos (+/-)y que están sometidas a las operaciones algebraicas (suma, resta multiplicación, división y potenciación).

Monomio: A una sola expresión de estas se le conoce como Monomio.

Ejemplos

Un monomio es L², que representa el área de un cuadrado.

Otro ejemplo 2πr, que representa la longitud de una circunferencia.

El doble o duplo de un número: 2x.

Un número al cubo: x³.

La mitad de un número: x/2.

Muchas veces los problemas que se nos presentan, no se pueden modelar con un monomio, sino que debemos utilizar varias de estas expresiones algebraicas o monomios, relacionados con signos más o menos y además con operaciones matemáticas entonces hablamos de binomios, trinomios, … y en general polinomios.

Polinomio: Es una composición matemática de un conjunto finito de monomios relacionados a través de las operaciones aritméticas de sumas, restas multiplicación y división, así como también exponentes enteros positivos.

Ejemplos:

F(x) = 2x²+3x+4, es un trinomio que representa una función cuadrática.

La letra x, representa la incógnita, variable o cantidad desconocida, cuando este valor es encontrado entonces habremos solucionado el problema.

Los números 2 y 3, se llaman coeficientes y siempre van a afectar a las  variables, pero el número 4 que no está afectando a la variable se le conoce como terminoindependiente.

X² + Y² + AX + BY + C = 0,  es un pentanomio y representa la ecuación general de la circunferencia, en donde  los términos X² y Y², representan las variables y están elevadas al cuadrado, los términos A y B, son los coeficientes y el termino C, es el termino independiente.

9x²– 8, es un binomio.

(x+4)², es un binomio al cuadrado.

X² + 8X + 16, es un trinomio.

X^-2 + 6X, no es un polinomio dado que tiene una potencia negativa.

Expresiones Semejantes.

Son expresiones semejantes aquellas que tienen la misma variable y estén elevada a la misma potencia, sin importar si el coeficiente es una cantidad diferente o si las expresiones tienen diferentes signos.

Ejemplo

3x y 4y, no son semejantes porque tienen diferentes variables.

3x y 4x², no son semejantesporque  aunque tienen la misma variable sus potencias son diferentes.

5x⁵ y -6x⁵, si son semejantes, aunque tienen diferente signo, su variable es la misma y la potencia de las variables es igual a 5 en ambas.

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Para sumar o restar polinomios debemos tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

Ubicamos términos semejantes juntos.

Se deben sumar o restar aquellas expresiones que sean semejantes.

Al sumar las expresiones algebraicas semejantes, sencillamente hacemos la suma de los coeficientes, es decir sus coeficiente aumentan su cantidad, formando una sola expresión, que representa a dos o varias de las expresiones semejantes que hayamos sumado, por su parte las variables no cambian es decir quedan con la misma letra y elevada a la misma potencia.

Cuando enfrentamos una resta, sencillamente miramos la expresión que tenga mayor valor absoluto y colocamos en el resultado el signo que acompaña a esta expresión y operamos la resta normalmente.

Ejemplos:

1)      sumar6x + 2x²+ 5     y     3x² - 2x – 1, y diga cuál es el grado de cada una de los polinomios.

Para visualizar mejor la solución lo haremos de tres formas diferentes:

a)      organizamos los polinomios uno debajo del otro, procurando colocar los elementos semejantes alineados uno debajo del otro, iniciando por el que tenga mayor potencia y en forma descendente al de menor potencia y por ultimo colocamos el termino independiente:

2x² + 6x + 5  ,se organiza, el término 2x² no estaba en su lugar

3x² - 2x - 1

5x² +4x  + 4

En el segundo término del resultado (+4x)  vemos que hay una resta, por lo cual debemos hacer la resta normalmente y luego miramos que el termino con mayor valor absoluto es el 6x, por tanto el resultado tendrá, el signo que tiene el de mayor valor absoluto (+6x), lo mismo sucede con el termino independiente, el signo del resultado es positivo porque el de mayor valor absoluto (+5), tiene signo positivo.

b)      6x+ 2x²+ 5     y     3x²- 2x– 1, ubicamos o resaltamos los términos semejantes, ya sean con distintos símbolos, como supe rayado o subrayado y directamente operamos, para lograr el resultado

5x² +4x  + 4.

c)      Hacemos un cuadro de tal manera que visualicemos mejor las variables.

	Términos en x2	Términos en x	Termino independiente
Polinomio 1	2x2	+ 6x	+ 5
Polinomio 2	3x2	- 2x	-  1
Resultado	5x2	+4x	+ 4

Ambos polinomios son de segundo grado, dado que la mayor potencia de las variables es 2 (x²).

2)      2x² + 6y + 3xy  ,   3x² - 5xy - x     y      6xy + 5

En este ejercicio hay tres polinomios, para ver mejor la explicación de la solución vamos a aplicar la estrategia de la tabla.

	Término x2	Término x	Término y	Término xy
Polinomio 1	+2x2	0	+6y	+3xy	0
Polinomio 2	+3x2	-1	0	-5xy	0
Polinomio 3	0	0	0	+6xy	+5
Resultado	5x2	-1	+6y	+4y	+5

En este ejercicio vemos que cuando no hay término semejante asociado a los otros polinomios colocamos cero y cuando hay varios términos semejantes que tienen distintos signos debemos hacer la suma por aparte de los positivos y la suma por aparte de los negativos y luego hacer la sustracción, teniendo en cuenta, el signo de su resultado.

3)      (4x²y + 5x²  + 3xy – 6x + 2) + (–4x² – 8xy + 10), habiendo mecanizado el proceso con la tabla tenemos:

Polinomio 1	+4x2y	+5x2	+3xy	-6x	+2
Polinomio 2	0	–4x2	-8xy	0	+10
Resultado	4x2y	x2	–5xy	–6x	+12

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es relativamente fácil, pero antes de entrar pleno en ella vamos a ver tres temas fundamentales que nos hará tener más cuidado a la hora de realizar estas operaciones y evitar errores.

Primero las propiedades de la multiplicación se aplican también a los polinomios y una de ellas es la ley distributiva para la suma.

Por ejemplo la propiedad distributiva dice que si tengo un número que multiplica a varios sumandos, yo debo multiplicar ese número por cada uno de los sumandos. Esto es:

(a+b)*(f+g+h) entonces yo debo multiplicar a el factor  a, por cada uno de los factores en el multiplicador a*(f+g+h)

Lo que quiere decir que ese producto nos debe generar

(a+b)*(f+g+h) = a*(f+g+h) + b*(f+g+h) ,

Realizando esta operación nos queda a*f  + a*g + a*h + b*f  + b*g + b*h. en este caso para no equivocarnos debemos controlar el número final de términos después de realizar este producto, entonces multiplicamos 2 x 3 = 6, nos debe dar 6 términos, como en realidad nos dio.

Segundo la Potencia, cuando realizamos multiplicaciones entre dos bases diferentes se deja tal cual como si fuera una multiplicación indicada, cuando multiplicamos dos bases iguales debemos colocar como resultado la misma base y sus potencias se suman así:

(a+b)*(a+c) = a*(a+b) + b*(2a+c) = a² + ab + 2ab + bc, al final controlamos debemos tener 4 términos (2*2= 4) y en realidad tenemos 4 términos, pero podemos reducir la expresión debido a que hay términos semejantes a² + ab + 2ab + bc = a² + 3ab + bc y nos quedan 3 términos

Tercero los signos. Es muy importante tener en cuenta que cuando multiplicamos signos iguales el resultado de la multiplicación es positivo y por su puesto cuando son diferentes el resultado es negativo.

Así al multiplicar  +5x por +6x, el resultado es 30x², positivo y cuando multiplicamos, -5x por -6x, el resultado también es positivo.

Pero cuando multiplicamos +5x por -6x, ó -5x por +6x, el resultado es negativo

 (-30x²).

Teniendo ya estas bases podemos ir a realizar ejemplos.

Ejemplos

1)      5x³*(4x² + 3x + 7) = 5x³*4x² + 5x³*3x + 5x³*7 = 20x⁵ + 15x⁴ + 35x³

En este caso el polinomio podemos ordenarlo en factores simples dado que tiene un factor común y podemos reescribirlo así:

4*5x²x³ + 5*3x³x + 7*5x³ , vemos que 5x³, aparece como factor en cada termino y podemos escribirlo como composición en factores así: 5x³*(4x² + 3x +7)

2)      (x + 4)(2x + 2) = x*(2x + 2) + 4*(2x + 2) = 2x² + 2x + 8x + 8, reduciendo términos semejantes nos queda  2x² + 10x + 8

3)      (a + 10)(2a – 7) = a(2a – 7) + 10(2a – 7) = 2a² – 7a + 20a -70, reduciendo términos semejante nos queda:  2a² + 13a  -70.

4)      (3x + 6)(5x² + 3x –10), este es un binomio por un trinomio.

3x(5x² + 3x –10) + 6(5x² + 3x –10)  =  15x³ + 9x²-30x + 30x²+18x– 60, reducimos términos comunes y quedamos en: 15x³ + 39x² – 12x -60.

DIVISION DE POLINOMIOS

Igual que en la suma debemos tener en cuenta dos temas fundamentales como son los signos y las potencias.

Signos,Al operar en la división los signos, tienen un comportamiento parecido al de la multiplicación, si se dividen signos iguales el resultado es positivo y si se dividen signos diferentes el resultado es negativo, por ejemplo:

-x⁴/ -x² = x²    x⁴/ -x²  o   -x⁴/ x² = -x².

Potencias,en la división cuando dividimos dos bases con diferentes exponentes colocamos la misma base y los exponentes se restan por ejemplo

x⁴/ x² = x^4-2= x²

Ahora si podemos ver cómo funciona la división.Para dividir dos polinomios, debemos diferenciar entre el dividendo y divisor, los colocamos tal como si fuésemos hacer una división común y corriente,

a)      colocando el dividendo al lado izquierdo y al divisor al lado derecho, ambos deben ser colocados.

b)      El dividendo se debe colocar en orden riguroso del grado de izquierda a derecha comenzando por el termino de mayor grado hasta el término independiente, si notamos que uno de los grados no está, dejamos el espacio o colocamos cero

c)      Para el dividendo, también lo colocamos de menor a mayor pero no es necesario dejar el espacio si no hay algunos de los grados de la variable.

d)     Luego tomamos el primer término del dividendo y lo dividimos entre el primer término del divisor, el resultado lo colocamos en el cociente y esta valor lo multiplicamos por cada uno de los términos del divisor.

e)      La multiplicación que ya la manejamos (debemos tener en cuenta los detalles del tema anterior), nos dará tantos términos como tenga el divisor y tendrá su grado y su signo, este término hay que colocarlo, debajo del termino semejante correspondiente en el dividendo, con signo cambiado.

f)       Luego hacemos la suma o la resta correspondiente y obtenemos un resultado, al cual le bajamos los otros términos y volvemos y repetimos el proceso, con el primer término que nos queda ahora.

g)      Cuando sabemos que se terminó la división, cuando el grado del residuo, sea inferior al grado del divisor o el residuo sea cero.

Ahora haremos unos ejercicios para aclarar el procedimiento que hemos armado.

Ejemplo tomemos el siguiente ejemplo:

(37x³ – 15x - 8x² – 20x⁵) / (4x² - 5)

Lo primero que debemos hacer es organizarlos de acuerdo a su grado de izquierda a derecha en orden decreciente:

(– 20x⁵ + 0 +37x³ –  8x²   – 15x + 0) / (4x² - 5)

Debemos tener en cuenta que los términos en x⁴ y el termino independiente no existen por eso hemos colocado cero para respetar su espacio, ahora procedemos tal cual si fuésemos hacer una división.

– 20x⁵    + 0      +37x³     –  8x²     – 15x   + 0     4x²  - 5

                                                                           5x^5-2 =-5x³        Dividimos – 20x⁵/4x²   

                                                                                         Multiplicamos por el divisor

                                                                            Y resulta -20x⁵ + 25x³, ahora se       

                                                                            Coloca en el dividendo, con signo            

                                                                             Contrario, en la posición del 

Término semejante

– 20x⁵    + 0      +37x³     –  8x²     – 15x   + 0     4x²  - 5

20x⁵              -25x³

    0                    12x³    –  8x²     – 15x   + 0      se bajan los restantes términos

Seguimos el proceso, ahora el término que quedo con mayor grado es el termino de grado tres y procedemos repitiendo el los pasos anteriores

– 20x⁵    + 0      +37x³     –  8x²     – 15x   + 0     4x²  - 5

20x⁵  -25x³                                          -5x³ + 3x - 2

    0             12x³        –  8x²     – 15x   + 0     

                        -12x³                   + 15x

                           0–  8x²         0

8x²      -10

                                            0       -10

Nos damos cuenta que terminó la división porque el residuo tiene un grado inferior al divisor que en este caso es de grado cero por ser el término independiente (-10).

Si deseamos comprobar debemos multiplicar (4x²  - 5)*(-5x³ + 3x - 2) y sumarle el -10.

APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS

En física utilizamos el desplazamiento de un cuerpo sometido a una aceleración mediante la fórmula:

S= V_o*t  + at²/2, por ejemplo cual es la distancia recorrida por un cuerpo que parte con una velocidad inicial de 4 mts/seg y tiene una aceleración de 50 mts/seg², durante 10 seg.

Es muy fácil calcularlo reemplazando los valores tenemos: S= 440 mts.

Otra aplicación es para convertir grados centígrados a  Farenheit.

Utilizamos el polinomio: °F= °C x 1.8 + 32 

La temperatura media de Barranquilla es de 31 °C, expréselos en Farenheit.

°F = 87,8 °F

Tiene múltiples aplicaciones en química, física y estadística, por ejemplo en matemáticas en serie, encontrar la suma de un número con el número que le sigue

Suma de números consecutivos = x + (x+1).

En el cálculo de áreas, volúmenes

En volúmenes el volumen de la esfera es: (4/3)π.r³, donde r es el radio.

https://www.youtube.com/watch?v=Tengdm9TJ6Y

http://www.logikamente.com.ar/?page=Recursos::Los_84_temas

http://sabrinamatematica.blogspot.com/2012/05/polinomios-introduccion-al-concepto.html

http://escritorioalumnos.educ.ar/datos/recursos/pdf/matematica/polinomios_historia.pdf

http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio